| 显示国家开放大学系统国家开放大学-经济数学基础1所有答案 |
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求微分方程4x^3+6x-y′=0的通解．
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答案是：y=x^4 + 3x^2 +c
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求初值问题y′+1=e^x,y=(0)=1的解．
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答案是：y=e^x -x
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求由下列曲线所围平面图形的面积：
⑴y=√x和直线y=0,x=1,x=2；
⑵y=x^3和y=2x
⑶y=sin x在区间[0,π]上的一段和 x 轴．
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答案是：（1）4√2/3 - 2/3（2）1（3）2
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某种产品的销售增长率服从
f(t）=1340-850e^-t
式中以年度量，求前5年的总销售量．
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答案是：5850+850e^-5
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某产品边际成本c′(q)=2（百元／台），边际收入r′(q)=8-0.4q（百元／台），其中q（台）为产量．试求
⑴产量 q 等于多少时，利润最大？
⑵在使利润最大的产量的基础上再生产5台，利润将减少多少？
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答案是：（1）15台（2）5百元
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指出下列微分方程的阶数，并指出哪些是线性微分方程：
（1）y″-8y=4x^2+1
（2）y′y^(3) +2(y″)^2=4
（3）y^(5)-cos y=(y″)^2
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答案是：（1）2阶，是（2）3阶，不是（3）5阶，不是
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1．求微分方程y′+y=e^-x的通解.
2．求初值问题y′-y=2xe^2x，y(0)=1的解．
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答案是：1.y=(x+c)e^-x
2.y=3e^x+2(x-1)e^2x
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1．求下列可分离变量的微分方程的通解：
（1）yln y+xy′=0
（2）1+y′=e^y
2. 求微分方程y′=e^2x-y满足初始条件y(0)=0的特解.
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答案是：1.（1）y=e^c/x（2）y=-ln(1-ce^x)
2.y=ln[1/2(e^2x +1)]
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指出下列微分方程的阶数：
（1）(y″)^2+3(y′)^4-y^5+6x^8=0
（2）x^2(y′)^3-5yy′+e^x=0
（3）xy″+(y′)^3-5xy′=sin x
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答案是：（1）2阶（2）1阶（3）2阶
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1． 已知边际成本c′(q)=12e^0.5q，固定成本为26，求总成本函数.
2．某产品的总成本（万元）的变化率c′(q)=1（万元／百台），总收入（万元）的变化率为产量q（百台）的函数r′(q)=5-q（万元／百台）.
（1）求产量
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答案是：（1）q=4（2）0.5万元（3）310+90e^-4
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1. 利用定积分的几何意义计算下列定积分：
（1）∫1 0 xdx；
（2）∫r 0 √r^2-x^2 dx (r>0)．
2. 求由下列曲线所围平面图形的面积：
（1）直线y=3x+2,x=0,y=3.y=6
（2）y=x^2与
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答案是：1.（1）1/2（2）π/4 R^2
2.（1）5/2（2）9/2（3）2
3.（1）0（2）8（3）4
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计算下列广义积分：
（1）∫+∞ 1 1/x^1/3 dx
（2）∫+∞ 0 x^2 e^-x3 dx
（3）∫0 -∞ xe^x dx
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答案是：（1）发散（2）1/3（3）-1
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计算下列定积分：
（1）∫4 0(1+xe^-x)dx
（2）∫e 1 xln xdx
（3）∫π 1 xcos2xdx
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答案是：（1）5-5e^-4（2）e^2 +1/4（3）1/4-sin2/2-cos2/4
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计算下列定积分：
（1）∫1 0 e^-1/3x dx
（2）∫e^3 1 1/x√1+ln x dx
（3）∫a 0 x√x^2+a^2 dx (a>0)
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答案是：（1）3(1-e^-1/3)（2）2（3）a^3/3(2√2 -1)
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计算下列定积分：
（1）∫2 1 x^-3 dx
（2）∫1 -2 |1+x|dx
（3）∫π 0 (3^x+sin x)dx
（4）∫1 0(x-1)(3x+2)dx
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答案是：（1）3/8（2）5/2（3）3^π -1/ln3 +2（4）- 3/2
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设函数f(x)={x/2+1,-1≤x<0;√x+1,0≤x≤1，求∫1 -1 f(x)dx ．
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答案是：1/12+4/3√2
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设G(x)=∫x 1 dt/√1+t^4，求G′(x) ．
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答案是：（1/√1+x^4）
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⒈求下列广义积分：
⑴∫+∞ 0 xe^-x2 dx ；
⑵∫+∞ 1 ln x/x^2 dx ；
⑶ ∫+∞ 4 1/√x dx ；
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答案是：（1）1/2（2）1（3）发散
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⒈计算下列定积分
⑴∫3 1 xe^2x dx ；
⑵∫5 1 ln xdx ；
⑶∫e 1 x^3 ln xdx ；
⑷ ∫π/2 0 xcos 2 xdx；
⑸∫e 1/e |ln x|dx ．
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答案是：（1）5/4e^6- 1/4e^2（2）5ln5-4（3）1/16(3e^4 -1)（4）- 1/2（5）2-2/e
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⒈计算下列定积分
⑴∫2 -2 e^- 7/2 x dx ；
⑵∫2 1 e^-1/x /x^2 dx ；
⑶∫1 0 x√1-x^2 dx ；
⑷∫3 2 1/xln x dx ；
⑸∫a 0 √4-x^2 dx ．
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答案是：（1）2/7（e^7-e^-7）（2）e^-1/2 -e^-1（3）1/3（4）ln ln3-ln ln2（5）π
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⒈计算下列定积分
⑴∫2 -1 |1-x|dx ；
⑵∫1 0(2^x+x^2)dx ．
⒉设函数f(x)={x^2,1-≤x<0;3√x,0≤x≤1,求∫1 -1 f(x)dx ．
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答案是：1.（1）5/2（2）1/ln2+1/3
2. 7/3
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1．设F(x)=∫x 0 sin^2 tdt ，求F′(π/4).
2.利用N-L公式计算下列定积分：
⑴∫1 0 x^2 dx ；
⑵∫2 1 x^2 dx ；
⑶∫1 0 xe^x2 dx ；
⑷∫π/2 0 x∫cos xd
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答案是：1. 1/2
2.(1)1/3 (2)1 (3)1/2(e-1) (4)π/2 -1
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设曲线在任一点 x 处的切线斜率为1/√x +3，且过(1,5)点，试求该曲线的方程．
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答案是：y=2√x+3x
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求下列函数的原函数：
⑴x^2；
⑵sin x；
⑶1/x．
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答案是：（1）x^3/3（2）-cosx（3）ln|x|
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求下列不定积分：
⑴∫(x-2)e^x dx；
⑵∫x^2 e^-2x dx；
⑶∫xcos(x+1)dx；
⑷∫xln(x+1)dx；
⑸∫ln x/√x dx．
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答案是：（1）(x-3)e^x +c（2）- 1/4（2x^2+2x+1）e^-2x +x（3）xsin (x+1)+cos(x+1)+c（4）x^2-1/2 ln(x+1)+x/2-x^2/4 +c（5）4√x(ln√x-1)+c
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求下列不定积分：
⑴∫(3x-1)^-3 dx；
⑵∫(√x+1)^5/√x dx；
⑶∫ e^x/√1+2e^x dx；
⑷∫e^sinx cos xdx ；
⑸∫ ln^3 x/x dx．
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答案是：（1）- 1/6(3x-1)^-2 +c（2）1/3(√x+1)^5 +c（3）√1+2e^x +c（4）e^sinx +c（5）ln^4 x/4 +c
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求下列不定积分：
⑴∫(x+2/x^2)dx；
⑵∫(4x^3/2+x^1/2)dx；
⑶∫(2^x-1/x)dx；
⑷∫(x+3)(x^2-3)dx；
⑸∫√x(x-3)/x dx．
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答案是：（1）x^2/2- 2/x +c（2）8/5 x^5/2 + 2/3x^3/2 +c（3）2^x/ln2-ln|x|+c（4）x^4/4+x^3-3/2x^2-9x+c（5）-6√x+2/3x^5/2 +c
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求下列不定积分：
⑴∫xe^-x dx ；
⑵∫(x+1)e^x dx ；
⑶∫xsin∫ x/2 dx ；
⑷∫x^2 cos xdx ；
⑸∫ln(x+1)dx ；
⑹∫ln x/x^2 dx ；
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答案是：（1）-（x+1）e^-x+ c（2）xe^x +c（3）-2xcos x/2+4sin x+2+c（4）(x^2-2)sinx+2xcosx+c（5）(x+1)ln(x+1)-x+c（6）- lnx/x - 1/x +c
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求下列不定积分：
⑴∫(x+5)^4 dx ；
⑵∫1/1-2x dx ；
⑶∫x√2+x^2 dx ；
⑷∫xe^-x2 dx ；
⑸∫e^1/x /x^2 dx ；
⑹∫1/xln x dx ；
⑺∫e^x cos(e^x
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答案是：（1）1/5(x+5)^5+c（2）-1/2ln|1-2x|+c（3）1/3(2+x^2)^3/2（4）-1/2e^-x2 +c（5）-e^1/x +c（6）ln|lnx|+c（7）sin(e^x)+c
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求下列不定积分：
⑴∫(1+√x)^2/x dx ；
⑵∫x^2 -4/x+2 dx ；
⑶∫e^x(3^x-e^-x)dx
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答案是：（1）ln|x|+4√4+x+c
（2）1/2x^2-2x+c
（3）(3e)^x/1+ln3 -x+c
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1．求(∫e^x2 dx)′ .
2．求 ∫(sin x/x)′dx
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答案是：1.e^x2
2.sin x/x+c
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1．求 f ( x )= 2 x -1 的不定积分.
2．已知曲线 y = F ( x )= 在任一点x(x>0) 处的切线斜率为1/√4 +1 ，试求过( 1 ,5 ) 点的曲线方程.
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答案是：1.x^2-x+c
2.y=2√x+x+2
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1．求下列函数的一个原函数：
⑴ x 2 - 1；
⑵1/x ；
⑶ 3x；
⑷ 2 e2x.
2.求下列函数的全体原函数：
⑴x^2-√x ；
⑵ 0；
⑶x^26 -1 ；
⑷(x
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答案是：1.（1）x^3/3-x（2）1/xln|x|（3）3^x/ln3（4）e^2x
2.（1）x^3/3-2/3 x^3/2+c（2）c（3）x^27/27-x+x（4）x+2ln|x|-1/x+c
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3. 某厂每生产一批产品，其固定成本为2 000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q = 1 000 –10p（为需求量，为价格）．试求：
（1）成本函数，收入函数；
（2）产量为多少吨时利润最大？
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答案是：（1）成本函数c（q）=(60q+2000）因为q=1000-10p，即p=100-1/10q所以收入函数R（q）=（100-1/10q）
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某商品价格p（单位：百元/百台）与需求量q（单位：百台）之间的关系是5p + q – 50 = 0
（1）求收入函数R(q)；
（2）q为多少时，R(q)最大？
（3）求需求对价格的弹性．
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答案是：（1）由5p+q-50=0得p=（10-1/5q）故收入函数R（q）=pq=（10-1/5q=10q-1/5q^2）
（2）因为R′（q）=（10q-1/5q^2）′=(10-1/5q)令R′（q）=0，即10-3/5q=0，得q=25，它是收入函数R（q）在其定义域内的唯一驻点，所以q=25是收入函数R（q）的（最大值）点，即当q=25百台时，收入函数R（q）最大
（3）由5p+q-50=0得q=50-5p因为q′=（-5）所以需求价格弹性Ep=（p/50-5p（-5）=- p/10-p）
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某商品的需求量q关于价格p的函数q(p) = 1200e-2p，求：
（1） 需求弹性Ep；
（2）当价格p = 20元时，再涨价1%，其需求量将会发生什么变化？
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答案是：（1）因为q′=（1200e^-2p）′=(-2400e-2p)所以Ep=（p/1200e^-2p(-2400e^-2p)）=(-2p)
（2）当p=20时，Ep（20）=（-2×20=40）那么当价格p=20元时，再涨价1%，商品需求量将会（减少40%）
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求函数f (x) = sinx + cosx在区间[0,2π]上的最大值和最小值
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答案是：f′（x）=（cosx-sin） 令f′（x）=0，即cosx-sinx=0，得在区间[0,2π]上的解为（x1=π/4，x2=5π/4）当x1=π/4时，cosx-sinx=√2/2-√2/2=0；当x2=5π/4时，cosx-sinx=-√2/2-（- √2/2）=0函数没有导数不存在的点，由f（0）=sin0+cos0=1，f（π/4）=sin=π/4+cos π/4=（√2）f（5π/4=sin5π/4+cos5π/4=（-√2）），f（2π）=sin π+cosπ=1 （sinπ/4=√2/2，cosπ/4=√2/2，sin5π/4=-√2/2，cos5π/4=-√2/2）所以函数f（x）=sinx+cosx在区间[0,2π]上的最大值为f（π/4）=√2，最小值为f（5π/4）=√2
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已知x1=2,x2=1都是函数y = alnx + bx2 + xa≠0的极值点，求a, b的值
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答案是：因为a≠0时，y=alnx+bx+2+x的定义域为（0，+∞），且9/x+2bx+1=1/x（2bx x+x+9）该函数没有导致不存在的点，故极值点x1=2，x2=1是y的驻点，即它们是方程1/x（2bx^2+x+q）=0的解，由{8b+2q=0....①；2b+1+a=0....② 2bx^2+x+a=0得方程组{8b+2+a=0....①；2b+1+a=0....② 解方程组，得a=- 2/3，b=1/-6
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设f (x) = ln(1+ x2 )，x∈[0,+∞)
（1）确定f (x)在所给区间的单调增减性；
（2）求f (x)在给定区间上的最小值．
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答案是：(1)因为f′（x）=（2x/1+x^2）当x∈[0,+∞)时，f′（x）=（2x/1+x2）（≥0）所以f（x）在x∈[0,+∞)上是（单调增加）的
（2）因为f（x）在x∈[0,+∞)上单调增加，所以f（x）在（0）处取得最小值，即f（0）=ln（1+02）=0
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确定函数f (x) = x3 – 12x的单调减少区间
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答案是：因为f（x）x^3-12x的定义域为（-∞，+∞），且（x）=3（x+2）（x-2）
令f′（x）=0，即3（x+2）（x-2）=0，得x1=-2，x2=2
该函数没有不可导点
以x1=-2和x2=2为分点，将定义域分成三个子区间：（-∞，-2）（-2,2）（2，+∞）
当x∈（-2,2）时，（x+2）与（x-2）异号，故（x）=3（x+2）（x-2）
所以函数f（x）=x3-12x的单调′减少区间为[-2,2]
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求函数y = 2x3 –3x2 –12x +14的单调区间
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答案是：因为y=2x3-3x2-12x+14的定义域为（-∞，+∞），且y′=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)
令y′=0，即6（x+1）（x-2）=0，得x1=-1，x2=2，
该函数没有不可导点
以x1=-1和x2=2为分点，将定义域分成三个子区间：
（-∞，-1），（-1,2），（2，+∞）
当x∈（-∞，-1）时，=6（x+1）（x-2）（>0）
当x∈（-1,2）时，=6（x+1）（x-2）（<0）
当(2,+∞)时，=6（x+1）（x-2）（>0）
所以函数y=2x3-3x2-12x+14的单调增加区间为（-∞，-1],[2,+∞）,单调减少区间为[-1,2]
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某种商品的收入函数为r=104q-0.4q^2，则当销售量q = 5时，边际收入r′(5)=100
选择一项：
对
错
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答案是：正确答案是“对”。
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生产某种产品的边际利润，则产量为q0时将不获利
选择一项：
对
错
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答案是：正确答案是“错”。
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生产某种产品的成本函数为C(q)，则其平均成本为
选择一项：
对
错
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答案是：正确答案是“错”。
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某商品的需求函数是（a为常数），则该商品的需求弹性是价格p的线性函数
选择一项：
对
错
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答案是：正确答案是“对”。
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设函数在区间[a, b]上的单调，则在[a, b]的两个端点处取得最大值或最小值
选择一项：
对
错
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答案是：正确答案是“对”。
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若x0是f (x)的极值点，则一定有f′(x)=0
选择一项：
对
错
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答案是：正确答案是“错”。
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若导数f′(x)在(a, b)内单调减少，则函数f (x)在(a, b)内必是单调减少的
选择一项：
对
错
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答案是：正确答案是“错”。
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若函数f (x)在区间(a, b)内恒有f′(x)>0，则f (x)在[a, b]内单调增加
选择一项：
对
错
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答案是：正确答案是“对”。
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若某商品的需求量与价格之间的关系为，则（ ）。
选择一项或多项：
A.
该商品的需求弹性
B.
该商品的边际需求
C.
该商品的收入函数
D.
该商品的边际收入
E.
价格
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答案是：正确答案是：价格关于需求量q的函数为p = 400 - 20q, 该商品的边际收入r′(q)=400-40q, 该商品的边际需求q′=- 1/20
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若连续函数在区间[a, b]上单调不增，则（ ）。
选择一项或多项：
A.
f (x)在区间(a, b)内没有极值点
B.
f (x)在区间(a, b)内没有驻点
C.
f (x)在区间(a, b)内
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答案是：正确答案是：f (x)在区间(a, b)内没有极值点, f (x)在区间(a, b)内没有最值点, f (x)在端点处取得最大值
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若x0是可微函数f (x)的一个极值点，则（ ）是正确的。
选择一项或多项：
A.
x0为f (x)的最大值点
B.
在点x0的左、右邻域异号
由教材第1编3.2节的定理3.3可知，选项E是正确的
C
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答案是：正确答案是：x0为f (x)的驻点, f (x)在x0处连续, f′(x)在点x0的左、右邻域异号
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下列函数f (x)在指定区间内是单调函数的有（ ）。
选择一项或多项：
A.
f (x) = cosx,
B.
f (x) = sinx,
C.
f (x) = x3 + x,
D.
f
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答案是：正确答案是：f (x) =x-1/x,(-∞,0)∪(0,+∞), f (x) = x3 + x,(-∞,+∞), f (x) = lnx,(0,+∞)
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某种商品的需求弹性为Ep=-bp (b>0)．那么，当价格p提高1%时，需求量将会
（ ）。
选择一项：
A.
减少bp%
B.
增加bp
C.
减少bp
D.
增加bp%
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答案是：正确答案是：减少bp%
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需求量q对价格p的函数为q(p)=3-2，则需求弹性为Ep=（ ）。
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答案是：正确答案是：-√p/3-2√p
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设函数f (x)满足以下条件：当x< x0时，；当x> x0时，，则x0必是函数f (x)的（ ）。
选择一项：
A.
驻点
B.
极小值点
C.
不确定点
D.
极大值点
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答案是：正确答案是：不确定点
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设函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d满足b^2-3ac<0，则该函数在实数域中（ ）。
选择一项：
A.
无极值
B.
仅有一个极大值
C.
有一个极大值和一个极小值
D.
无
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答案是：正确答案是：无极值
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下列结论正确的有（ ）。
选择一项：
A.
若,则x0必是f (x)的极值点
B.
使f’x）不存在的点x0，一定是f (x)的极值点
C.
x0是f (x)的极值点，且存在，则必有
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答案是：正确答案是：x0是f (x)的极值点，且f′(x0)存在，则必有f′(x0)=0
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下列函数在指定区间(-∞,+∞)内单调增加的有（ ）。
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答案是：正确答案是：e^x
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某厂每批生产某种产品q个单位的总成本为C(q) =7q + 200（千元），获得的收入为R(q) =12q –0.01q2（千元）．那么，生产这种产品的边际成本为 ，边际收入为
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答案是：正确答案是：C'（q）=7，R（q）=12-0.02q，L'（q）=205
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